The Swiss engineering master's degree

Principes de l’utilisation théorique et numérique d’équations aux dérivées partielles pertinentes pour l’ingénierie

Compétences préalables

Le cours permet de faire le lien avec les études de Bachelor et d’approfondir des théories mathématiques connues, et en particulier l’algèbre linéaire, l’analyse et la numérique. Des connaissances dans certains domaines constituent un prérequis et plus précisément :
Algèbre linéaire: systèmes d’équation, matrices, exercices numériques
Analyse: dérivées partielles, gradient, notion d’équations différentielles ordinaires, équations différentielles linéaires, équations différentielles à variables séparables, notion de la série de Fourier

Objectifs d'apprentissage

Les étudiants connaissent les aspects de base géométriques, analytiques et numériques des équations aux dérivées partielles et disposent d’un savoir élémentaire nécessaire pour assurer l’utilisation de celles-ci dans le domaine de l’ingénierie. Ils connaissent également une sélection d’exemples modèles facilitant l’approfondissement de la théorie.

Contenu des modules

Partie 1: Théorie des équations aux dérivées partielles

Objectifs de la 1ere partie:

• Comprendre comment les équations différentielles partielles apparaissent naturellement dans les applications
• Être capable de résoudre des exemples sélectionnés en utilisant la méthode de séparation
• comprendre les types de conditions aux limites nécessaires, les conditions aux limites de Dirichlet et Neumann

• créer une collection d'exemples pour illustrer les principes théoriques de base

Plan des lessons de la 1ere partie:

1. Des équations différentielles ordinaires aux dérivées partielles: trois exemples appliqués: équation d'onde, équation de Laplace et équation de chaleur. Objectif: comprendre comment les équations aux dérivées partielles apparaissent naturellement dans les applications

2. Equations aux dérivées partielles quasi-linéaires de premier ordre, solutions utilisant des caractéristiques.Résolution analytique par la méthode de séparation à l’aide d’exemples sélectionnés

3. Solution d'équations aux dérivées partielles en utilisant la séparation des variables.
4. Solutions avec les transformées de Laplace ou de Fourier
5. Equation elliptique à l’aide de l’équation de Laplace: formule de Poisson, principe du maximum et unicité de la solution
6. Equations paraboliques expliquées à l’aide de l’équation de la chaleur: principe du maximum, fonction fondamentale
7. Equations hyperboliques expliquées à l’aide de l’équation d’onde: solutions d'Alembert, méthode des caractéristiques

Partie 2: Calcul numérique des équations aux dérivées partielles

1. Analyse des méthodes des différences finies à l’aide d’un problème de conditions aux limites (deux paramètres)
   • Analyse de condition
   • Analyse de stabilité
   • Analyse de convergence
   Analyse des méthodes des différences finies à l’aide du problème de l’équation de transport
   L’objectif consiste à expliciter certaines des idées et des notions centrales de l’approche numérique en général et des différences finies en particulier.
2. Méthode de volumes finis expliquée à l’aide de l’équation de Poisson:
   • exemple d’une approche volumes finis/différences finies par la méthode centrée aux cellules
   • exemple d’une approche aux volumes/éléments finis par la méthode centrée aux nœuds
   • Caractéristiques de Navier-Stokes
   Méthode des éléments aux limites expliquée à l’aide de l’équation de Laplace
   L’objectif consiste à avoir une sélection de méthodes numériques permettant de saisir l’importance des approches approximatives.
3. Méthode des éléments finis expliquée à l’aide de l’équation de la chaleur stationnaire
   • formulations différentielles, variationnelles et intégrales
   • approches globales et locales
   • éléments et types d’éléments
4. Une vue d’ensemble: résidus pondérés.
   L’objectif consiste à présenter une introduction concise à la méthodologie des éléments finis.
5. Problématiques des méthodes des éléments finis expliquées à l’aide de l’équation des poutre:
   Quelques stratégies de résolution ainsi que leur arrière-plan numérique:
   • stratégies p
   • stratégies h
   • stratégies r
   Exemple d’introduction au contrôle des intervalles
   L’objectif consiste à illustrer les limites de la méthodologie des éléments finis.
6. Méthode des éléments finis expliquée à l’aide de l’équation de la chaleur instationnaire
   • schémas semi-discrets
   • schémas discrets
7. Détermination de la valeur propre par les éléments finis à l’aide de l’équation des poutres
   L’objectif consiste à présenter d’autres domaines d’application de la méthode des éléments finis.

L’objectif de ce module ne consiste pas à former l’étudiant à l’utilisation d’un quelconque logiciel de traitement des équations aux dérivées partielles. Il s’agit en revanche de lui transmettre les principes de base permettant une utilisation réussie de ces outils. Le but est donc de permettre aux étudiants de comprendre les différentes possibilités offertes par un tel logiciel et ses conséquences en termes de fiabilité et de précision des solutions obtenues.

Bibliographie